考慮線性定常系統(tǒng)和性能指標如下：

其中實數(shù)r>0為性能指標可調(diào)參數(shù)。試回答
（1）當參數(shù)r固定時，求使得性能指標J最小化的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器。
（2）當參數(shù)r增大時，分析閉環(huán)系統(tǒng)性能的變化。

雙足直立機器人可以近似為一個倒立擺裝置，如圖所示。假設(shè)倒立擺系統(tǒng)的一個平衡點線性化狀態(tài)空間模型如下：

其中，狀態(tài)變量，y是小車的位移，θ是擺桿的偏移角，u是作用在小車上的動力。試回答

（1）雙足直立機器人在行走過程中被人推了一把而偏離垂直面，那么根據(jù)倒立擺原理，請問雙足直立機器人在該擾動推力消失后還能回到垂直面位置嗎？
（2）如果不能，那么請你從控制學的角度，給出兩種能夠使雙足直立機器人在擾動推力消失后回到垂直面位置的方法。
（3）請結(jié)合倒立擺模型，簡單敘述雙足直立機器人能控性的含義。
（4）在狀態(tài)反饋控制器設(shè)計中，需要用到系統(tǒng)的所有狀態(tài)信息，但根據(jù)倒立擺原理，可測量的狀態(tài)信息只有水平移動的位移y，那么你有什么方法可以實現(xiàn)這個狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計？你所用方法的條件是什么？依據(jù)是什么？請結(jié)合倒立擺模型，給出你使用方法的實現(xiàn)過程。

實際被控系統(tǒng)通常是連續(xù)時間系統(tǒng)，但計算機控制卻是一種基于離散模型的控制，因此一種方法是對連續(xù)時間系統(tǒng)做離散化。那么請問
（1）一個能控能觀的連續(xù)時間系統(tǒng)，其離散化后的狀態(tài)空間模型是否仍然保持能控能觀性？
（2）以如下線性定常系統(tǒng)為例：說明你的理由以支持你的觀點。

（3）令采樣周期T=π/2，初始狀態(tài)為，求u（k），使得（2）中離散化狀態(tài)空間模型在第2個采樣時刻轉(zhuǎn)移到原點。

系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣不僅包含了對應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息，而且在線性控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計中具有重要的作用。已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下：

（1）試給出對應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息；
（2）試列舉狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)，并簡述其意義。