設三維晶格的光學振動在q=0附近的長波極限有ω（q）=ω₀−Aq²，求證：每支光學支的聲子態(tài)密度為：

計算由N個質(zhì)量為M的相同原子組成一維單原子鏈的聲子態(tài)密度g（ω），設單原子鏈的原胞長度為a，β為恢復力常數(shù)。

由正負離子構(gòu)成的一維無限長原子鏈，離子間距為a，離子的質(zhì)量相等，為M，電荷交替變化，第n個離子的電荷為e（−1）ⁿ，離子間的相互作用是兩種相互作用的總和，（1）原子間的近鄰相互作用，恢復系數(shù)為β，（2）離子間的庫侖相互作用。
（1）證明，庫侖相互作用對原子力常數(shù)的貢獻為：

ε₀為介電系數(shù)，m為自然數(shù)。
（2）證明色散關系可以表示為
，
其中，ε₀為介電系數(shù)。
（3）證明，當qa=π/a時，

考慮一個全同原子組成的平面方格子，正方形的邊長為a，每個原子的質(zhì)量為M，最近鄰原子的力常數(shù)為β。用u_l，m記第l列，第m行的原子垂直于格點平面的位移。
（1）證明運動方程為：

（2）設解的形式為
，
證明色散關系為
。
（3）證明獨立解存在的區(qū)域為邊長為2π/a的正方形區(qū)域的正方形，分別畫出q=q_x，q_y=0，和q_x=q_y時的ω（q）圖。
（4）對于長波長極限，qa<<1時，證明

（5）在第一布里淵區(qū)畫出等ω線，并標出ω的極大值點，極小值點和鞍點。