在著名的圣彼得堡悖論中，尼古拉斯貝努利提出了一個(gè)賭局，并由此得到了一個(gè)悖論。
（1）請(qǐng)?jiān)敿?xì)說(shuō)明尼古拉斯貝努利提出了一個(gè)什么樣的賭局？
（2）描述一下這個(gè)賭局存在什么樣的悖論？
（3）這個(gè)悖論后人是如何化解的？寫(xiě)出詳細(xì)的數(shù)學(xué)過(guò)程和必要的文字說(shuō)明。

為把金融學(xué)納入經(jīng)濟(jì)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)體系，關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資可以通過(guò)效用最優(yōu)化方法導(dǎo)出。假設(shè)投資者擁有初始財(cái)富ω₀，可在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（回報(bào)率為r_f）和一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（回報(bào)率為r）之間進(jìn)行投資分配，投資者從初始財(cái)富中拿出a用于投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，假設(shè)投資者效用函數(shù)為U（x），且U"（x）< 0。
（1）請(qǐng)推導(dǎo)出，在什么條件下，投資者一定會(huì)投資一些風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)？
（2）請(qǐng)推導(dǎo)出，在什么條件下，投資者初始財(cái)富越大，其在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資額也會(huì)越大？
（3）請(qǐng)推導(dǎo)出，在什么條件下，投資者風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資額對(duì)初始財(cái)富的彈性等于1？