問答題

【計(jì)算題】
設(shè)L_k為指標(biāo)為k的初等下三角陣，即

（除第k列對(duì)角元下元素外，和單位陣I相同）
求證當(dāng)i，j>k時(shí)，L_k=I_ijL_kI_ij也是一個(gè)指標(biāo)為k的初等下三角陣，其中I_ij為初等排列陣。

答案：

其中m_i，k與m_j，k位置互換。

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【計(jì)算題】
設(shè)A是對(duì)稱正定矩陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為

其中A=（a_ij）_n，A₂=（a_ij^（2））_n-1
證明：
（1）A的對(duì)角元素a_ij>0（i=1，a_ij）；
（2）A₂是對(duì)稱正定矩陣；
（3）A_n^（n）≤a_ij，（i=1，2，...，n）；
（4）A的絕對(duì)值最大的元素必在對(duì)角線上；
（5）
（6）從（2），（3），（5）推出，如果|a_ij|<1，則對(duì)所有k，|a_ij^（k）|<1。< i=1，2，...，n）；

答案：

如下：

【計(jì)算題】
設(shè)A為n階矩陣，如果稱A為對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣。證明：若A是對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A具有形式

答案：

則A₂是對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，故高斯消去法與部分選主元高斯消去法對(duì)于對(duì)稱的對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣每一步均選取同樣的主元，得出的是同樣的結(jié)果。