晶體含有N個原子.原子在晶體中的正常位置如圖中的“O”所示.當原子離開正常位置而占據(jù)圖中的“×”位置時，晶體中就出現(xiàn)缺位和填隙原子.晶體的這種缺陷稱為弗倫克爾（Frenkel）缺陷.

設原子在填隙位置和正常位置的能量差為u，試由自由能F=nu-TS為極小證明，溫度為T時，缺位和填隙原子數(shù)為

晶體含有N個原子.原子在晶體中的正常位置如圖中的“O”所示.當原子離開正常位置而占據(jù)圖中的“×”位置時，晶體中就出現(xiàn)缺位和填隙原子.晶體的這種缺陷稱為弗倫克爾（Frenkel）缺陷.

假設正常位置和填隙位置都是N，試證明，由于在晶體中形成n個缺位和填隙原子而具有的熵等于

試根據(jù)公式證明，對于相對論粒子有
上述結(jié)論對于玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布都成立.

設系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為N和N。粒子間的相互作用很弱，可以看作是近獨立的.假設粒子可以分辨，處在一個個體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制.試證明，在平衡狀態(tài)下兩種粒子的最概然分布分別為