設(shè)某行星繞中心天體以公轉(zhuǎn)周期T沿圓軌道運(yùn)行，試用開普勒第三定律證明：一個物體由此軌道自靜止而自由下落至中心天體所需的時間為。

兩個滑冰運(yùn)動員的質(zhì)量各為70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路線間的垂直距離為10m，當(dāng)彼此交錯時，各抓住10m繩索的一端，然后相對旋轉(zhuǎn)。
⑴在抓住繩索一端之前，各自對繩索中心的角動量是多少？抓住之后是多少？
⑵它們各自收攏繩索，到繩長為5m時，各自的速率如何？
⑶繩長為5m時，繩內(nèi)張力多大？
⑷二人在收攏繩索時，各自做了多少功？
⑸總動能如何變化？

理想滑輪懸掛兩質(zhì)量為m的砝碼盤。用輕線拴住輕彈簧兩端使它處于壓縮狀態(tài)，將此彈簧豎直放在一砝碼盤上，彈簧上端放一質(zhì)量為m的砝碼。另一砝碼盤上也放置質(zhì)量為m的砝碼，使兩盤靜止。燃斷輕線，輕彈簧達(dá)到自由伸展?fàn)顟B(tài)即與砝碼脫離。求砝碼升起的高度，已知彈簧勁度系數(shù)為k，被壓縮的長度為l₀。

一條不可伸長的細(xì)繩穿過鉛直放置的、管口光滑的細(xì)管，一端系一質(zhì)量為0.5g的小球，小球沿水平圓周運(yùn)動。最初l₁=2m，θ₁=30º，后來繼續(xù)向下拉繩使小球以θ₂=60º沿水平圓周運(yùn)動。求小球最初的速度v₁，最后的速度v₂以及繩對小球做的總功。

質(zhì)量為200g的小球B以彈性繩在光滑水平面上與固定點(diǎn)A相連。彈性繩的勁度系數(shù)為8N/m，其自由伸展長度為600mm。最初小球的位置及速度v₀如圖所示。當(dāng)小球的速率變?yōu)関時，它與A點(diǎn)的距離最大，且等于800mm，求此時的速率v及初速率v₀。