概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)章節(jié)練習(xí)(2020.06.01)

設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且都在[0，1]上服從均勻分布。令，試用中心極限定理計(jì)算的值。

設(shè)總體X~P（λ），X₁，X₂，…，X_n為來(lái)自總體X的樣本，樣本均值為，樣本方差為S²，其中λ是未知參數(shù)，且λ＞0，
（1）試求λ的最大似然估計(jì)量；
（2）試證：對(duì)一切α（0≤α≤1），α+（1-α）S²都是λ的無(wú)偏估計(jì)；
（3）試求λ²的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。

某年級(jí)三個(gè)班報(bào)名參加志愿者的人數(shù)分別為10人、15人、25人，其中女生的分別為3人、7人、5人． 現(xiàn)隨機(jī)地從一個(gè)班報(bào)名的學(xué)生中先后選出兩人，求：
（1）先選出的是女生的概率；
（2）已知后選出的是男生，而先選出的是女生的概率．

在一個(gè)參數(shù)統(tǒng)計(jì)模型中，如果要求未知參數(shù)θ的單側(cè)區(qū)間估計(jì)，試寫出決策空間，并給出適當(dāng)?shù)膿p失函數(shù)。

設(shè)總體X的概率密度為，其中參數(shù)λ（λ＞0）未知，x₁，x₂，，x_n來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。
（1）求參數(shù)λ的矩估計(jì)量；
（2）求參數(shù)λ的最大似然估計(jì)量。

設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的密度函數(shù)為

1） 求邊緣密度函數(shù)φ_X（x），φ_Y（y）； 
2） 問(wèn)X與Y是否獨(dú)立？是否相關(guān)？ 
3） 計(jì)算Z = X + Y的密度函數(shù)φ_Z（z）；